Un eje servo dimensionado solo por el par de pico moverá la carga en el banco de pruebas y se sobrecalentará en la tercera semana de producción. Los números que deciden si un eje dura son la relación de inercias, el par eficaz sobre el ciclo real y la temperatura ambiente dentro del armario.
De vez en cuando llega una máquina con un eje que se comporta mal de una forma que nadie consigue concretar. Posiciona correctamente cuando se prueba despacio. Se pasa de consigna a velocidad de producción. Al cabo de una hora de ciclos de tres segundos, el variador dispara por temperatura del motor, y el registro de mantenimiento anota el disparo como un fallo intermitente de causa desconocida. El motor nunca está subdimensionado de la manera obvia, porque alguien sí comprobó que podía mover la carga. Lo que no se comprobó es cuánto tiene que esforzarse, con qué frecuencia y contra cuánta inercia.
Dimensionar un eje servo es aritmética, no opinión, y cuesta alrededor de una hora con una hoja de datos. Las entradas son la masa a mover, la mecánica que la une al motor, el perfil de movimiento, el tiempo de ciclo y la temperatura ambiente. Lo que sigue es nuestra forma de hacerlo, con un ejemplo que se lleva hasta el final, porque el ejemplo hace visibles las trampas.
Empiece por el movimiento, no por el motor
Supongamos que un carro de 40 kg tiene que recorrer 300 mm en 0,5 s y después quedarse quieto otros 0,5 s mientras trabaja una pinza, lo que da un ciclo de un segundo. El perfil más sencillo es un trapecio dividido en tres tercios iguales: acelerar un tercio del tiempo, ir a velocidad constante otro tercio y decelerar el último. Para esa forma la velocidad de pico es una vez y media la media, es decir 1,5 x 0,3 m / 0,5 s = 0,9 m/s, y la aceleración es 0,9 dividido entre 0,167 s, unos 5,4 m/s².
Esos dos números ya deciden la mecánica. Con un husillo de bolas de 10 mm de paso, 0,9 m/s significa 90 revoluciones por segundo, o 5400 rpm, lo que queda por encima del rango cómodo de la mayoría de husillos de ese tamaño y cerca de la velocidad crítica de uno largo. Con 20 mm de paso son 2700 rpm, que es lo ordinario. Elegir el paso antes que el motor no es por tanto un detalle; fija la velocidad que debe alcanzar el motor y, por el mismo factor, el par que debe producir. El factor que convierte entre el mundo lineal y el rotativo es el paso dividido entre dos pi: para 20 mm de paso, 3,183 milímetros de recorrido por radián.
Relación de inercias: el número que decide cómo se comporta el eje
La inercia de la carga vista en el eje del motor es la masa multiplicada por el cuadrado de ese factor: 40 kg x (3,183e-3 m/rad)², unos 4,05e-4 kg m². El propio husillo no sale gratis: un husillo de acero de 25 mm de diámetro y 500 mm de longitud pesa alrededor de 1,9 kg y aporta aproximadamente 1,5e-4 kg m², un tercio más. Los acoplamientos, la polea de una transmisión por correa y el disco de freno añaden su parte, y en los ejes por correa la masa de la correa forma parte de la masa en movimiento.
Compare el total, aquí unos 5,6e-4 kg m², con la inercia del rotor del motor considerado, digamos 1,2e-4. La relación es de 4,6 a 1. Como regla práctica, una relación de hasta aproximadamente 5 a 1 da un eje rígido y de buen comportamiento con ajustes de control estándar; hasta 10 a 1 es viable con un acoplamiento rígido y un ajuste cuidadoso; más allá, el eje se vuelve difícil de ajustar, porque el lazo de control intenta comandar una masa que apenas siente a través de una unión que nunca es perfectamente rígida. El sobrepaso a velocidad y la tendencia a oscilar en reposo son los síntomas, y ningún ajuste de ganancia arregla una relación mecánica.
Un reductor cambia el panorama más que ninguna otra decisión aislada, porque divide la inercia de carga reflejada por el cuadrado de la relación. Un planetario de 5 a 1 reduce nuestros 5,6e-4 a 2,2e-5, convirtiendo una relación de 4,6 a 1 en algo por debajo de 1 a 1, a la vez que multiplica el par que ve el motor y divide su velocidad. El coste es el juego, que en un planetario se declara en minutos de arco y se traduce directamente en movimiento perdido en la herramienta, más otro componente que alinear y lubricar. En un eje de posicionamiento con tolerancia estrecha preferimos un accionamiento directo por husillo y aceptar una relación mayor antes que introducir juego en el lazo.
Par: tres componentes, una suma
El par necesario en cualquier instante es la suma de tres términos. El primero es inercia por aceleración angular. Nuestra aceleración angular es la aceleración lineal dividida por ese mismo factor 3,183e-3, unos 1696 radianes por segundo al cuadrado, y la inercia total incluido el rotor es 6,8e-4, así que el par de aceleración es de unos 1,15 N m. El segundo es el rozamiento, que en guías lineales se modela a menudo con un coeficiente de aproximadamente 0,01 de la carga normal, aquí 3,9 N, lo que aporta apenas 0,01 N m a través del husillo, más el arrastre de los retenes y la precarga de la tuerca, que indica el fabricante del husillo y que con frecuencia es el mayor de los dos. El tercero es la gravedad, nula en un eje horizontal y dominante en uno vertical: esos mismos 40 kg colgando del husillo necesitan unos 1,25 N m para sostenerse, todo el día, se muevan o no. El rendimiento del husillo, típicamente 0,9 en uno de bolas, divide en los términos motrices y multiplica en cualquier caso de retroaccionamiento.
Un eje vertical tiene por tanto dos exigencias que no tienen los horizontales: un par de sostenimiento continuo que calienta el motor incluso cuando nada se mueve, y un freno, porque un servo que pierde la alimentación no sostiene nada. El freno es un componente de seguridad cuando una persona puede estar bajo la carga, y se dimensiona para la carga estática con margen, no para frenado dinámico.
El ciclo de trabajo, que es donde se gana realmente el dimensionado
El par de pico dice si el eje puede moverse siquiera. Lo que decide si sobrevive es el par eficaz, la raíz cuadrática media, a lo largo de todo el ciclo, incluido el tiempo en que el eje está parado, porque eso es lo que calienta el motor. En el ejemplo el eje acelera a 1,15 N m durante 0,167 s, va casi sin par 0,167 s, decelera a unos 1,10 N m durante 0,167 s y después descansa 0,5 s. La raíz cuadrática media sobre el ciclo de un segundo sale en torno a 0,65 N m.
El motor debe tener por tanto un par nominal continuo holgadamente por encima de 0,65 N m y un par de pico por encima de 1,15 N m. Tomamos un 30 por ciento de margen sobre la cifra continua por costumbre, porque una máquina que funciona al 98 por ciento de su límite térmico el día de la entrega no tiene adónde ir cuando una guía se endurece, cuando se cambia un retén por otro más apretado o cuando el cliente pide un ciclo una décima de segundo más rápido. Esa última petición llega en casi todos los proyectos. Si la espera del ejemplo baja de 0,5 s a 0,2 s, el ciclo cae a 0,7 s y el par eficaz sube a unos 0,78 N m, un 20 por ciento más por un cambio que parece no tener nada que ver con el motor.
La temperatura ambiente pertenece al mismo cálculo. Los valores nominales de motor y variador se declaran a una temperatura dada, normalmente 40 grados, y se degradan por encima. Dentro de un armario cerrado en un verano turco o español, 55 grados no es raro, y en ese punto un variador puede estar entregando un 20 por ciento menos de corriente continua de lo que sugiere su etiqueta. Es la misma carga térmica que decide la refrigeración del armario, y por eso dimensionamos el eje y la refrigeración con la misma hoja de cálculo en lugar de en dos departamentos distintos.
Regeneración, resolución y las cosas que no son el límite
Cada deceleración devuelve energía al variador. Que importe o no depende de la masa, la velocidad y la frecuencia: un eje horizontal pequeño vuelca su energía en los condensadores del variador y nadie se entera, mientras que un eje vertical pesado que baja una carga repetidamente subirá el bus de continua hasta que el variador dispare por sobretensión, salvo que se monte una resistencia de frenado dimensionada para la potencia media regenerada y no para el pico. El cálculo es la energía cinética y potencial por ciclo dividida entre el tiempo de ciclo, y suele sorprender solo a quien lo omitió.
La resolución del encoder, en cambio, casi nunca es el límite y recibe mucha más atención de la que merece. Un encoder de 17 bits da 131072 cuentas por vuelta; con 20 mm de paso eso son 0,15 micras por cuenta. Ninguna máquina de este tipo posiciona ni de lejos con esa finura. Lo que limita realmente la repetibilidad es la rigidez del acoplamiento, el juego de un posible reductor, el crecimiento térmico del husillo a lo largo de un turno y la rigidez del bastidor al que va atornillado todo. Cuando un eje no mantiene una tolerancia, la respuesta está en la mecánica nueve de cada diez veces.
Qué entregamos
Un cálculo de dimensionado que se pueda comprobar forma parte de la documentación de nuestras máquinas: el perfil de movimiento con su velocidad y su aceleración, la mecánica y la inercia reflejada, la relación de inercias, los pares de pico y eficaz frente al motor elegido con los márgenes declarados, la energía regenerada por ciclo y la temperatura ambiente supuesta en el armario. Tras la puesta en marcha registramos la corriente real del variador durante un ciclo completo de producción y la comparamos con el cálculo, porque es la única forma de saber si las hipótesis de rozamiento eran acertadas. Un eje dimensionado así resulta aburrido durante años, que es el mayor cumplido que un constructor de máquinas puede hacerle a un motor.
— Equipo de ingeniería de GANI Engineering